Question

如何判断复合函数奇偶性

Answer 1

首先看复合函数的定义域。如果定义域不关于原点对称，则该复合函数是非奇非偶函数；
如果定义域关于原点对称，则看内外函数，当内函数是偶函数时，不论外函数是怎样的函数，复合函数一定是偶函数；当内函数是奇函数、外函数也是奇函数时，复合函数是奇函数；当内函数是奇函数，外函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

Answer 2

如何判断复合函数奇偶性：
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，
如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，
则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；

当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数的偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

Answer 3

有一个重要结论，记住
y=f[g(x)]

(1)f和g都是奇函数，
y=f[g(x)]是奇函数；

(2)g都是偶函数，
y=f[g(x)]是偶函数；

(3)f是偶函数，g是奇函数，
y=f[g(x)]是奇函数。