Question

求解一道高二数学题（有关函数与导数）！

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x-4,g(x)=ax^2+x-8
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若对任一的x∈[0，+∞）都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围。

主要是第二小题不懂得。

Answer 1

1)f(x)=x³+2x²+x-4, f'(x)=3x²+4x+1=(x+1)(3x+1)
令f'(x)>=0, 则x>=-1/3,或x<=-1;令f'(x)<=0, 则-1<=x<=-1/3
∴f(x)单调增区间为(-∞,-1]和[-1/3,+∞),单调减区间为[-1,-1/3]
∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=-1+2-1-4=-4;f(x)在x=-1/3处取得极小值f(-1/3)=-1/27+2/9-1/3-4=-112/27
2)设h(x)=f(x)-g(x)=x³+(2-a)x²+4, 即x>=0是h(x)>=0恒成立
h'(x)=3x²+2(2-a)x=3x[x-2(a-2)/3]
若a<=2, 则2-a>=0, h'(x)>=0,即h(x)在[0,+∞)上单调增, 只要使得最小值h(0)>0, h(0)=4>0显然成立
若a>2, 则令h'(x)>=0, 则x>=2(a-2)/3;令h'(x)<=0,则0<x<=2(a-2)/3
∴h(x)在(0,2(a-2)/3]上单调减,在[2(a-2)/3,+∞)上单调增
∴最小值在x=2(a-2)/3处取得, h(2(a-2)/3)=8(a-2)³/27-4(a-2)³/9+4=4-4(a-2)³/27>=0
∴(a-2)³<=27, a-2<=3, a<=5, 即2<a<=5
综上,a<=5,即a的取值范围为(-∞,5]

Answer 2

分离变量得到a<=x+4/x^2+2(x>=0)
这下即求后面等式在大于等于0时的最大值,求导或者用最小值公式，都能得出结果
我求的的结果是a<=5

Answer 3

不等式看不懂就求一下函数最小值就可以了