Question

数学问题。尽快，谢谢！

设点F1，F2分别是椭圆C：x^2／2+y^2=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点。求数量积向量PF1*向量PF2的取值范围。
问：设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

Answer 1

第一问：设P(x,y),由题设知F1(-1,0),F2(1,0),则向量PF1=(-1-x,-y),向量PF2=(1-x,-y).故向量PF1与向量PF2的数量积=x²+y²-1.又P在椭圆上，故x²/2+y²=1,即y²=1-x²/2,代入可得向量PF1与向量PF2的数量积=x²/2.又-√2≦x≦√2,故向量PF1与向量PF2的数量积=x²/2∈[0,1]，即范围为[0,1].

第二问：设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设直线AB的方程为y=k(x+1),联立x²/2+y²=1和y=k(x+1),消去y得(2k²+1)x²+4k²x+2(k²-1)=0,消去x得(2k²+1)y²-2ky-k²=0.
由韦达定理，x1+x2= -4k²/(2k²+1),y1+y2=2k/(2k²+1).故AB中点M的横坐标为(x1+x2)/2= -2k²/(2k²+1),纵坐标为(y1+y2)/2=k/(2k²+1),即M(-2k²/(2k²+1),k/(2k²+1)).
又AB的垂直平分线的斜率为-1/k,且过M点,从而直线方程为y-k/(2k²+1)=( -1/k)[x+2k²/(2k²+1)].其中令y=0,得x=-k²/(2k²+1)=-1/(2+1/k²)＜0.故点G横坐标的取值范围是(-∞,0).

Answer 2

设P (x y ),P F 1*P F 2=x 2-1 y 2=x ^2/2-1,通过x 的范围求解。第二题设直线方程，联立，可写出a b 中点m 的坐标，设新直线与椭圆联立，求交点，简单的可用参数方程