Question

求方向导数公式的证明，从网上找到了这张图片。很不幸没看懂，不懂为什么第二步的化简是那样？不应该等于

求方向导数公式的证明，从网上找到了这张图片。很不幸没看懂，不懂为什么第二步的化简是那样？不应该等于分别关于x.y.z的偏导吗？

Answer 1

Answer 2

若x趋于x0时有极限limf(x)=A，则此极限过程中f(x)可表示为f(x)=A+o(1)，其中o(1)表示无穷小，这是函数极限与无穷小的关系，可以用定义证明，证明过程教材上都有。本题中前面已求出x趋于0时limf(x)/x^n=4，故利用此关系就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。而f(x)在x=0处的n阶泰勒公式为f(x)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2!+...+f'(n)(0)/n!+o(x^n)，正是由于泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0处的泰勒公式，将两式中次数相同的项进行比较，就可以得出前n-1阶导数都等于0，且f'(n)/n!=4。

追问

您回答的根本不是我的问题啊。。