Question

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x^2+bx+c），

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x^2+bx+c），
g（x）=（ax+1）（cx^2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1 C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3
答案：D
请写出详细步骤

Answer 1

解析：取a＝0，b＝0，c＝0，则S＝{x|f(x)＝x^3＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝1＝0}，|T|＝0.因此A可能成立．取a＝1，b＝0，c＝1，则S＝{x|f(x)＝(x＋1)(x^2＋1)＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝(x＋1)(x^2＋1)＝0}，|T|＝1.因此B可能成立．取a＝－1，b＝0，c＝0，则S＝{x|f(x)＝(x－1)x^2＝0}，|S|＝2，T＝{x|g(x)＝(－x＋1)·(－x^2＋1)＝0}，|T|＝2.因此C可能成立．答案选D.

追问

则S＝{x|f(x)＝x^3＝0}，|S|＝1，为什么?

追答

取a＝0，b＝0，c＝0，则f（x）=（x+a）（x^2+bx+c）=x^3，令f（x）=0，得x=0.故S中只有1一个元素，故{S}=1.

Answer 2

如果要{T}=3必有 cx^2+bx+1 = 0有两个不同实根，ax+1 = 0有实根，那么可以得到b^2 - 4c>0且a不为0。同时c(1/a)^2 - b/a + 1 = 0不成立
对于f(x)则可以看出，不论a为何值 x + a = 0必有实根，而x^2+bx+c = 0因为上面得到的b^2 - 4c>0，必有两个不同实根。
那么要满足{S}=2，只有令x = -a为x^2+bx+c = 0的其中一个根，即有 a^2 - ab + c = 0必须成立。但是因为a不为零，它可以化成c(1/a)^2 - b/a + 1 = 0，和{T}=3推出的结论矛盾。
所以D选项不成立。