Question

两道高中数学题

1.若函数y=f（x），满足f（m+x）=f（m-x），则对任意的非零实数m，a，b，c，关于x的方程a[f（x）]^2+bf（x）+c=0的解集不可能是
A.{1,3} B.{1,3,5} C.{1,3,5,7} D.{1,2,4,8}
2.若x，2y∈[-π/4,π/4]，a∈R，且｛大括号上面x^3+sinx-2a=0，下面8y^3+sin2y+2a=0,则cos（x+2y）=（）
谢谢，要详解，别敷衍

Answer 1

我先回答第一道题
a[f（x）]^2+bf（x）+c=0最多有两个值

1.
假设解得只有一个值
且不等于f（m）
那么就有可能等于f（m+x）和f（m-x）
m+x和m-x就可能分别为1和3

2.
假设解得两个值
其中一个值等于f（m）
那么另外一个值就为f（m+x）和f（m-x）
m+x和m-x的和必须为2m
有三个解m m+x和m-x

B选项满足

3.
假设解得两个值
且都不等于f（m）

那么两个值分别等于f（m+x）和f（m-x）

f（m+y）和f（m-y）
那么就有四个解

m+y m-y m+x m-x
要满足m+y+ m-y=m+x+m-x

可以看出1+8不等于2+4

故C满足 D不满足
所以D错

下面回答第二个问题
改写方程
x^3+sinx=2a
（-2y）^3+sin（-2y）=2a

如此便看到两个方程实际上是等效的
现在分析函数x^3+sinx
这个函数是单调上升的
由于x，2y∈[-π/4,π/4]
所以只有当2a处在[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]之间时
x^3+sinx=2a才有解
而且只有一个解，因为函数单调

同样（-2y）^3+sin（-2y）=2a
等同于x^3+sinx=2a
所以有解时2y=-x
所以2y+x=0
cos2y+x=1

于是得到答案为：
cos（2y+x）=1 a∈[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]
无解， a∉[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]

望采纳！可以追问！
防抄袭！

Answer 2

1.D 2.1
解答：
1.f(m+x)=f(m-x)，说明f(x)的对称轴是x=m.不妨设f(x)=t能满足该方程,而f(x)=t的一个解是x=m-k,即m-k为该方程的一个解。由于f(x)关于x=m对称，故m+k是f(x)=t的另一个解，即m+k也是该方程的解。所以该方程的解必然关于x=m对称。由于D选项不具对称性，所以选D。
2.注意到，x^3+sinx=2a,8y^3+sin2y=-2a,两个等式的左边互为相反数。作函数f(t)=t^3+sint,则该函数为奇函数。由于限定了x,2y的范围，故当且仅当x=-2y时，f(x)=-f(2y)。则x+2y=0,cos（x+2y）=1.
如果有哪里看不懂的，欢迎追问。这两道题挺难的，祝学习进步。

Answer 3

证明:∵√(x^2+xy+y^2)=(1/2)√(4x^2+4xy+y^2+3y^2)
=(1/2)√[(2x+y)^2+3y^2]≥(1/2)(2x+y).(把根号里的正数3y^2
去掉即得)
同理可证√(y^2+yz+z^2)≥(1/2)(2y+z).
√(z^2+zx+x^2)≥(1/2)(2z+x).
三式相加,便得
√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2)≥(3/2)(x+y+z)