Question

一道数列题目、求帮忙

Answer 1

(1)an/n=3a(n-1)/(2a(n-1)+n-1)
倒数n/an=(2a(n-1)+n-1)/3a(n-1)=2/3+(n-1)/3a(n-1)
设n/an=bn，得bn=1/3b(n-1)+2/3
即bn-1=1/3(b(n-1)-1
所以{bn-1}为等比数列，首项b1-1=1/a1-1=-1/3
所以bn-1=-1/3^n
bn=1-3^n
an=n/bn=n*3^n/(3^n-1)
(2)即证明3/(3-1)*3^2/(3^2-1)*3*3/(3^3-1)*...*3^n/(3^n-1)<2
即证明(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)*...*(1-1/3^n)>1/2
使用放大的方法，先证明n∈N*时，有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)①

下面用数学归纳法证明
n=1时①式成立
假设n=k时成立，即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] ①式成立

故由数学归纳法知①式对一切n∈N*均成立

∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即原式成立