Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2 3 ，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：⊙D与边BC也相切；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=根号三S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．

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Answer 1

（1）∵⊙D与AB切于点E ∴点D到AB的距离=R 又∵菱形ABCD ∴BD平分∠ABC ∴点D到BC的距离=点D到AB的距离=R ∴⊙D与BC也相切
（2）菱形ABCD中，AB=2 3 ，∠A=60°∴DA=BA，∠C=60°∴⊿ABD是等边三角形
连接DE，则∠AED=90°且AE=½AB=11.5 ∴DE=√3AE=DH=R
而且∠HDF=60° ∴S扇形HDF=πR²／6=529π／24
而⊿DHF也是等边三角形 ∴S⊿DHF=√3R²／4 ∴S阴影=529π／4－529√3／16
（3）过M做MN⊥DC于N，∵S⊿HDF=√3·DF²／4，当S△HDF=根号三S△MDF时 则有
√3·DF²／4=√3·½•DF·MN ∴MN=½DF=½R
∴此时∠MDC有两种情况：①∠MDC=30°，②∠MDC=150°
∴弧MF也有两种情况：①弧MF长=30πR／180=√3·π•AB／12=23√3π／12
②弧MF长=150πR／180=5√3·π•AB／12=115√3π／12

Answer 2

∵⊙D切AB于E，∴DE⊥AB，
过D作DG⊥BC于G，
∵ABCD是菱形，∴DA=DC，∠A=∠C，又∠DEA=∠DGC=90°，
∴ΔDEA≌ΔDGC，∴DG=DE，
∴BC与⊙D切于G；
⑵∵∠A=60°，AD=AB，∴ΔABD是等边三角形，
∴∠ADE=1/2∠ADB=30°=∠CDG，
∴∠EDG=60°，∴ΔAEF也是等边三角形。
（3）菱形ABCD中,AB=2倍根号3,∠A=60°,以点D为圆心的圆D与边AB相切于点E 所以有
OE=AD*sinA=AB*sin60°=3
∴S△HDF=OE*OE*sin60°/2=9√3/4
∵S△HDF=根号3S△MDF
∴S△MDF=9/4=OE*OE*sin∠MDF/2
∴sin∠MDF=1/2即
∴∠MDF=30°或∠MDF=150°
当∠MDF=30°时,弧FM=2*3*π*30°/360°=π/2
当∠MDF=150°时,弧FM=2*3*π*150°/360°=5π/2
动点M经过的弧长为π/2或5π/2