Question

已知a，b，c为大于0的实数a+b+c=3求证(1+a)/(1+b^2)+(1+b)/(1+c^2)+(1+c)/(1+a^2)<=3

Answer 1

不等号写反了, 应该是 ≥ 3, 不妨取a = 2, b = c = 0.5试试, 算出来得3.9 > 3.

证明方法如下.
由1+b² ≥ 2b > 0, (1+a)/(1+b²) = (1+a)-(1+a)b²/(1+b²) ≥ (1+a)-(1+a)b²/(2b) = 1+a-b/2-ab/2.
同理(1+b)/(1+c²) ≥ 1+b-c/2-bc/2, (1+c)/(1+a²) ≥ 1+c-a/2-ca/2.
三式相加得(1+a)/(1+b²)+(1+b)/(1+c²)+(1+c)/(1+a²) ≥ 9/2-(ab+bc+ca)/2.
而由9 = (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+3bc+3ca得ab+bc+ca ≤ 3.
于是(1+a)/(1+b²)+(1+b)/(1+c²)+(1+c)/(1+a²) ≥ 9/2-3/2 = 3.

其实1/(1+b²)+1/(1+c²)+1/(1+a²) ≥ 3/2和a/(1+b²)+b/(1+c²)+c/(1+a²) ≥ 3/2也都是成立的.
证明方法可以仿照上面.