Question

已知抛物线y^2=4x的准线与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1交于AB两点,点F为抛物线焦点 若△FAB是直角三角形，

则双曲线的离心率的取值范围是

Answer 1

由抛物线y^2＝4x，得：抛物线的准线方程是：x＝－1，抛物线的焦点F的坐标是（1，0）。
令x^2/a^2－y^2/b^2＝1中的x＝－1，得：1/a^2－y^2/b^2＝1，∴y^2/b^2＝1－1/a^2，
∴y^2＝b^2－b^2/a^2，∴y＝√（b^2－b^2/a^2），或y＝－√（b^2－b^2/a^2）。
∴A、B的坐标分别是（－1，－√（b^2－b^2/a^2））、（－1，√（b^2－b^2/a^2））。
∴向量FA＝（－2，－√（b^2－b^2/a^2）），向量FB＝（－2，√（b^2－b^2/a^2））。

∵△FAB是Rt△，显然有：FA＝FB，∴FA⊥FB，∴向量FA·向量FB＝0，
∴4－（b^2－b^2/a^2）＝0，∴b^2－b^2/a^2＝4。

∵e＝c/a，∴e^2＝c^2/a^2，∴c^2＝（ae）^2，∴a^2－b^2＝（ae）^2，
∴b^2＝a^2－（ae）^2，∴a^2－（ae）^2－［a^2－（ae）^2］/a^2＝4，
∴a^2－（ae）^2－（1－e^2）＝4，∴（1－e^2）a^2＝5－e^2，
∴a^2＝（5－e^2）/（1－e^2）＞0，又e＞1，∴5－e^2＜0，∴e^2＞5，∴e＞√5。

∴满足条件的双曲线离心率的取值范围是（√5，＋∞）。