Question

（初三数学）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a{x}^{2}+4ax+c(a≠0)经过A(0,4),B(-3,1)两点，顶点为C.

（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标
（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m>0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D.当△ACD是等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到线段PO‘，若点O’恰好落在 （1）中求得的抛物线上，求点P的坐标.

第一题已解出，抛物线表达式为y=4{x}^{2}+4x+4，C坐标为（-2,0）
各位大师帮忙解决（2）和（3）吧~~

Answer 1

解：1)将A，B坐标分别代入抛物线方程，有

c=4

9a-12a+c=1

∴a=1

c=4

∴抛物线：y=x²+4x+4=(x+2)²

∴C(-2,0)

2)由题，D(0,4+m)

已知，AC=2√5

由图，∠DAC为钝角，要使△ACD为等腰三角形，只有DA=AC

∴DA=2√5

易知，DA=m

∴D(0,4+2√5)

3)设P(-2，n)

我们先来推导一下O'的坐标

如图，过O‘向x轴作垂线，交x轴于M，再过P作PN垂直O’M于N

易知PO=PO‘，∠PCO=∠PNO’=90°，∠CPO=∠NPO‘(同为∠OPN余角)

∴△PCO≌△PNO’

∴O’N=OC=2，PN=PC=lnl

又四边形PCMN是矩形

∴MN=PC=lnl

①若n＞0，则

O’(n-2,n+2)，代入抛物线方程，有

n²-n-2=0

即(n-1/2)²=9/4

∴n1=2，n2=-1(舍去)

②若n＜0，则

O‘(-2+n,n+2)……其实是一样的。。代入抛物线方程，有

n²-n-2=0

即(n-1/2)²=9/4

∴n1=2(舍去)，n2=-1

综合①②，n=2或n=-1

∴P(-2,2)或P(-2,-1)

Answer 2

第一题你错了吧 是y=x^2+4x+4吧

2)平移后与y州的交点即为A平移m个单位后的点D（0,4+m），易知△ACD中CD>OD>AD,CD>CA，AD=CA时才可能是等腰三角形
AD=m，CA=2根号5
故m=2根号5

3）对称轴x=-2，设P（-2，p）
O'在y=x^2+4x+4=(x+2)^2上，设O'（m，(m+2)^2)
O'P=OP，那么[(m+2)^2-p]^2+(m+2)^2=4+p^2①
那么直线PO的方程为y=-p/2x,PO'⊥PO，那么PO‘斜率k=-1/(-p/2)=2/p
故2/p=[(m+2)^2-p]/(m+2),故(m+2)^2-p=2(m+2)/p②
②代入①得[2(m+2)/p]^2+(m+2)^2=4+p^2 即(4/p^2+1)(m+2)^2=4+p^2即（4+p^2）(m+2)^2/p^2=4+p^2 消元得
(m+2)^2/p^2=1,故（m+2）^2=p^2③
③代入①得(p^2-p)^2+p^2=4+p^2
(p^2-p)^2=4
p^2-p=2或p^2-p=-2
前者解为p=2或p=-1，后者无解
故p（-2，2）或p（-2，-1）
还是这个做法比较简短吧

Answer 3

(2)
由已知得：AC=AD,设AC=AD=b
则：
OC平方+OA平方=AD平方
即
b的平方=16+4=20，所以D点坐标（0，4+2倍根下5）
（3）
设O‘点坐标（X，（X+2）的平方）
则（X+2）的平方+【（X+2）的平方-4】的平方=4+（X+2）的4次方
且P点在X=-2上，所以
解得
P点坐标（-2，12/7）

追问

那个...△ACD为等腰三角形，为什么一定是AC=AD？

追答

你哪个不明白？

追问

滴（2）题看懂了，

那个（3）好像有点怪，答案上是

追答

恩，第3题我那么写不对了，因为是抛物线，所以旋转后的直线跟抛物线可能有2个交点的

Answer 4

详细解答，请看文库（第24题）
http://wenku.baidu.com/view/496f0866b84ae45c3b358c87.html