Question

一道数列题

已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．
1,求an通项，
2设数列{bn}满足bn=(nan)/((2n+1)*2^n),是否存在正整数m,n（1<m<n）使得b1,bm,bn,成等比数列？若存在求出所有的m，n的值，不存在。请说明理由

Answer 1

(1)a(n+1)^2=2an^2+ana(n+1)
a(n+1)^2-an^2=an^2+ana(n+1)
(a(n+1)+an)(a(n+1)-an)=an(an+a(n+1))
因为an>0
所以an+a(n+1)>0
所以a(n+1)-an=an,即a(n+1)=2an
{an}为等比数列，公比为2
所以a2+4a2=4a2+4,得a2=4
所以an=2^n
(2)bn=n/(2n+1)
假设存在，则有bm^2=b1bn
即[m/(2m+1)]^2=1/3*n/(2n+1)
即(2+1/m)^2=3(2+1/n)
故有n=m^2
代回原式，解得m=1矛盾
故不存在