Question

如图，在三角形ABC中，角C=90度，D是BC的中点DE垂直AB于点E，求证AE^2-BE^2=AC^2

Answer 1

解：从D点做辅助线至A点，由于ED垂直与AB，所以三角形AED也是直角三角形
所以：AE^2=AD^2-ED^2 (1)
同理：BE^2=BD^2-ED^2 (2)
因此：AE^2-BE^2=AD^2-BD^2 (3)
由于角C为直角
所以：AD^=DC^2+AC^2 (4)
将方程(4)代入(3)中可得
AE^2-BE^2=DC^2+AC^2-BD^2 (5)
已知D点为BC中点，BD=DC
所以 AE^2-BE^2=AC^2

Answer 2

连接AD,AE^2-BE^2 可以写成（AD^2-DE^2)-(BD^2-DE^2),接着化简的事，你应该会了吧

追问

是否可以把这道题的整个过程写一下！

追答

1.连接AD
2.因为 AE^2-BE^2=(AD^2-DE^2)-(BD^2-DE^2),化简得 AD^2-BD^2
3.又因为BD=CD,所以 AD^2-BD^2=AD^2-CD^2=AC^2
4.所以证得 AE^2-BE^2=AC^2