Question

已知函数f（x）=cosωx+√3sinωx(ω＞0)，满足f(x+π)=f(x).

已知函数f（x）=cosωx+√3sinωx(ω＞0)，满足f(x+π)=f(x).
（1）求方程f(x)=√3在区间【0,2π】内的解集；
（2）判断函数f(x)在x∈【π/12,π/3】上的单调性，并求函数f(x)在该区间的最值

Answer 1

已知函数f（x）=cosωx+(√3)sinωx(ω＞0)，满足f(x+π)=f(x).
（1）求方程f(x)=√3在区间【0,2π】内的解集；
（2）判断函数f(x)在x∈【π/12,π/3】上的单调性，并求函数f(x)在该区间的最值
解：(1)f(x)=cosωx+(√3)sinωx=2[(1/2)cosωx+(√3/2)sinωx]
=2[cosωxcos(π/3)+sinωxsin(π/3)]=2cos(ωx-π/3)
f(x+π)=2cos[ω(x+π)-π/3]=2cos[ωπ+(ωx-π/3)]=2cos(ωx-π/3)；∴ω=2；
即有f(x)=2cos(2x-π/3)；
令f(x)=2cos(2x-π/3)=√3，即有cos(2x-π/3)=(√3)/2；故2x-π/3=±π/6+2kπ；即x=π/4+kπ，
或x=π/12+kπ；在[0，2π]内的解有x₁=π/4(k=0)；x₂=π/12(k=0)；x₃=5π/4(k=1)；x₄=13π/12(k=1)；x₅=25π/12(k=2)； 即在[0，2π]内共有五个解。
(2).f(x)=2cos(2x-π/3)；
单增区间：[π/12，π/6]；单减区间：[π/6，π/3]；
f(x)在[π/12，π/3]的最大值为f(π/6])=2cos(π/3-π/3)=2coso=2。