Question

知函数f（x）=x^2+1/2a-2，x≤1， a^x-a，x＞1，若f（x）在（0，+∞）上单调递

知函数f（x）=x^2+1/2a-2，x≤1， a^x-a，x＞1，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为多少 最好写详细点，谢谢

Answer 1

当 0<x≤1 时，f(x)=x^2+1/2a-2
f'(x)=2x>0，f(x)单调递增
当 x>1 时，f(x)=a^x-a
当 a=1 时，f(x)=1-1=0，不是递增函数
当 a<>1 时，f'(x)=a^xlna
由于 f(x)是单调递增，f'(x)>0，a^xlna>0，lna>0，a>1
当 x=1 时，f(x)=1+1/2a-2=1/2a-1
而在 x>1时，lim(x->1)f(x)=a^1-a=0
而f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以1/2a-1<0，1/2a<1，a<2
所以 1<a<2

Answer 2

x^2+1/2a-2的对称轴是y轴，所以当0≤x≤1时f(x)是单调递增的。当x=1时，x^2+1/2a-2=1/2a-1. a^x-a=0
令1/2a-1≤0，则a≤2.
再令a^x-a随x的增大而增大，则a^x随x的增大而增大，得a＞1.
所以1＜a≤2