Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF

（1）CD与AF相等吗？为什么？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFCD是矩形，请说明理由

Answer 1

1、∵AD是BC边上的中线，点E是AD的中点
∴BD=CD，AE=DE
∵AF∥BC
∴∠F=∠EBD，∠FAE=∠BDE
∴△AFE≌△DBE(AAS)
∴AF=BD=CD
即CD=AF
2、∵AF=CD，AF∥CD
∴AFCD是平行四边形
∴只要∠ADC=90°，AFCD是矩形
∵∠ADC=90°，即AD⊥BC
AD是中线
即∠ADC=∠ADB=90°
AD=AD，BD=CD
∴△ADB≌△ADC(SAS)
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形时，四边形AFCD是矩形

Answer 2

1）CD=AF,理由，
因为AF∥BC
所以∠FAE=∠BDE,∠AFE=∠DBE
又E是AD的中点
所以AE=DE
所以△AEF≌△DEB
所以AF=DB
因为BD=CD
所以CD=AF

2)当△ABC是等腰三角形，即AB=AC时四边形AECD是矩形，
理由，
因为CD=AF,CD∥AF
所以四边形AECD是平行四边形
当AB=AC,因为BD=CD
所以AD⊥BC
所以∠ADC=90
即四边形AECD是矩形（有一个角为90°的平行四边形是矩形）