Question

为什么lim(x->0) f(x)/x=0可以得到f(0)=0?

Answer 1

lim(x→0) f(x)/x = 0 = 常数
要令这个分式趋向0
则分子必须也趋向0，因为分子不趋向0的话，整个分式就是趋向无穷大了
所以才有lim(x→0) f(x) = 0
==> f(0) = 0
这是0/0形式，要求这个极限的话，用上洛必达法则
则lim(x→0) f(x)/x = lim(x→0) f'(x)/x' = lim(x→0) f'(x) = f'(0)

PS：严格来说，f(0) ~ 0 而已。lim(x→0) f(x) 的值是接近 f(0) 而不等于 f(0)
正如分母也不能取x = 0

Answer 2

假定f(0)≠0
1)设f(0)=C
C/0=C*∞=∞
2)设f(0)=∞
∞/0=∞*∞≠0

两种情况与题目均不相符
f(0)=0