Question

如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD

Answer 1

如图，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，

又∵BD平分∠ABC，

∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

∵∠3+∠5=180°，∠3+∠4=180°，

∴∠4=∠5，

又∵∠ED=∠CFD=90°，

∴△ADE≌△CFD（AAS）

∴DA=DC

 

 

 

 

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Answer 2

连AC
则∠ACD=180-∠ADC-∠ACD
∠ADC=180-2∠ABD
所以∠ACD=∠ABD
在三角形中ACD中
∠ACD+∠CAD=180-∠ADC
在四边形ABCD中
∠A+∠C=180
则∠ABC+∠ADC=180
所以∠ACD+∠CAD=∠ABC
∠ACD=∠ABD
因为 ∠CBD=∠ABD
则∠CAD=∠ABD
所以∠ACD=∠CAD
在三角形ACD是两底角相等
所以 AD=CD

Answer 3

延长BA，记为BE.三角形ABD内角和为180度，所以角C=角ABD 角ADB。又因为角ABD 角ADB=角DAE（外角），所以角C=角DAE，所以角A=角C。最后角角边证全等