Question

初中数学几何超难证明题，必须高手进

如图，四边形ABCD为正方形，DE‖AC，AE＝AC，AE与CD相交于F，作AD的延长线，过点作EH⊥AD，交AD的延长线于点H，过点A作AI⊥EC于点I，
求证：△AEI≌△AEH。

Answer 1

证明全等就差一个条件，要不是角，要么是边，不要局限于几何方法，用代数方法解决几何问题

追问

你的答案是建立在证：EI=HE的猜想上的，答得好
你的图是用几何画板做的？

追答

是的

Answer 2

我有个比较麻烦的方法
过E做EG⊥AC,EJ⊥DC，易得EG＝1/2AC＝1/2AE，因此∠CAE＝30°，因此∠CFC＝75°，因为AI垂直EC，因此∠IAE＝∠IAC＝15°，因此∠AEI＝75°因此∠FCE＝30°，因此DH＝EF＝1/2CE＝CI＝IE。因为DE∥AC，因此△DHE是等腰直角三角形，因此四边形JDHE是正方形，因此HE＝DH＝EJ＝EI，因为三角形AEI和三角形AHE直角三角形，AE是公共边，因此两个三角形全等
高一的，很久没接触这类题目了，这是我能想到最好的办法了，问你的同学或许有更好的

追问

请问您看到这题时（在没看题目所要求你证明的东西之前），是否就已经看穿∠CAE＝30°？
还是现有猜想∠FCE＝30°，才有∠CAE＝30°？

追答

后者，FCE＝30°是看题目就可以看出来的

追问

看来不是条件反射？你以前做过这种类型的题目吗？

追答

谁初三没做个→_→

追问

原来你做过的啊？！你第一次做做出来了没？

追答

What......我是说做过这类的题目！

Answer 3

这道题不难。。真的不难。。。
两个垂直得到一对直角相等
然后有公共边AE
所以差一对角
以下为那一对角的证明：（不标准版不要直接抄上去）
一线三角得到AI平分的两个角相等
做EN⊥AC，联结BD交AC于O点
由正方形ABCD得到BD=AC=2OD,BD⊥AC
由BD⊥AC,EM⊥AC得到BD∥EN
再由已知的平行线DE∥AC得到矩形DONE
所以EN=OD=1/2AC=1/2AE
所以ANE是30°60°的直角三角形，即角CAE=30度
因此角HAE=15度=角EAI
然后用A.A.S全等
P.S.:过了40分钟后再看这道题目：为什么我比别人慢了10分钟啊,明明我看到这题的时候没人回答的啊~~~~~~~~~~~~~~

追问

请问您看到这题时（在没看题目所要求你证明的东西之前），是否就已经看穿∠CAE＝30°？
请您仔细回想，认真地回答，这个答案对我很重要，真的

追答

我当时想的是这三个角都是15°
好吧（︶︿︶）！以前我在老师家做过这种题目：把那个三角形ABC和三角形EDH去掉，其他条件都一样，叫你求那三个角相等
所以lO(∩_∩)O~这就是条件反射啊~~~~

Answer 4

超难？言过其实
作DM⊥AC于点M，EN⊥AC于点N，则M是AC的中点，且四边形DENM是矩形
∴EN＝DM＝1/2AC＝1/2AE
∴∠CAE＝30°
∵AE＝AC，AI⊥CE
∴∠EAI＝1/2∠CAE＝15°
∴∠EAH＝∠CAD－∠CAE＝15°＝∠EAI
∵∠AIE＝∠H＝90°，AE＝AE
∴△AEI≌△AEH

追问

请问您看到这题时（在没看题目所要求你证明的东西之前），是否就已经看穿∠CAE＝30°？

Answer 5

是连接DB交AC于O，则DB垂直AC，DO=1/2AC，过E作EG垂直AC于G，因为DE平行AC，所以EG=DO=1/2AC，因为AC=AE，所以EG=1/2AE，所以直角三角形中角EAC为30度，因为角DAC为45度，所以角HAE=15度，角AEH=75度，因为AE=AC，所以角AEC=（180——30）/2=75度，所角AEH=角AEC，然后可证明两三角形全等。