Question

y=√log3(3-x2)的定义域

单调区间及值域

Answer 1

函数有意义需根式下不小于0
则log₃(3-x²)≥0=log₃1
∵log₃x是增函数
∴3-x²≥1
∴x²≤2
∴|x|≤√2
∴-√2≤x≤√2
∴函数定义域为[-√2,√2]

设 t=3-x²，
当x∈[-√2,0]时，
t=3-x²递增，y=log₃t是增函数
∴函数y=√log3(3-x²)的递增区间为[-√2,0]

当x∈[0,√2]时，
t=3-x²递减，y=log₃t是增函数
∴函数y=√log3(3-x²)的递减区间为[0，√2]

∵x∈[-√2,√2],
∴x=0tmax=3,x=±√2,tmin=1
∴t=3-x² ∈[1,3]
∴y=log₃t∈[0,1]
∴函数值域为[0,1]