Question

高等数学线性代数问题

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A,B均为m×n矩阵，现有4个命题
① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩（A）≥秩（B）
② 若秩（A）≥秩（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解
③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩（A）=秩（B）
④ 若秩（A）=秩（B），则Ax=0与Bx=0同解

以上命题正确的是？

求详解，万分感谢！！！

Answer 1

正确选项应该是①和③。

设r(A)=r1, r(B)=r2,

则Ax=0的基础解系有n-r1个解向量，Bx=0的基础解系中有n-r2个解向量，因为Ax=0的解均是Bx=0的解，所以Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量可由Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量线性表示，于是n-r1<=n-r2,于是r1≥r2。即秩（A）≥秩（B）。所以① 是正确的.

 

若Ax=0与Bx=0同解，则Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量与Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量等价，于是n-r1=n-r2, 于是r1=r2. 即秩（A）=秩（B）。

 

② ④ 都是不正确的，都可举出反例的.例如：

追问

谢谢您这么仔细地回答，但是我还是有点不懂，请问为什么Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量可由Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量线性表示就可以退出n-r1<=n-r2呢？这完全是向量个数的比较，即使Ax=0的基础解系有很多向量，而Bx=0的基础解系只有几个向量，Ax=0的这么多个基础解系还是有可能会被少数的Bx=0的基础解系给线性表示出来。为什么就能推出A里面的个数一定比B里面的个数少呢？

追答

Ax=0的基础解系中的解向量都是线性无关的，所以Ax=0的基础解系的秩为n-r1,同理Bx=0的基础解系的秩是n-r2。

若向量组(1)可由向量组(2)线性表示，则向量组(1)的秩一定不超过向量组(2)的秩(这是教材中给出的性质，你可以找教材看看), 所以若Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量可由Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量线性表示，则就有n-r1<=n-r2.

另外，基础解系就是线性方程组的解空间的一个极大线性无关组. 其它解向量都可由这些解向量线性表示. 不管其它解向量有多少.

Answer 2

(3) 正确
齐次线性方程组同解, 则基础解系所含向量个数相同
即有 n-r(A) = n-r(B)
故 r(A)=r(B)

(1) 也对
与上同理, n-r(A) <= n-r(B)
所以 r(A) >= r(B)

Answer 3

• 首先明确：（a）向量组1可由向量组2线性表出（或等价），（b）秩1＜=秩2（或= ）         (a)能推出(b)  ，（b）不能推出（a）

• 基础解系中解的个数为n-r又其中各向量组线性无关则基础解系的秩也为n-r，r为系数矩阵的秩

• 在（1）的条件下可推出A的基础解系可由B的基础解系表出，

  在（3）的条件下可推出A的基础解系与B的基础解系等价。

• 则（1）（3）正确。
  

Answer 4

1.正确 设A是m*n矩阵,R(A)=max(m,n)-R(x),R(x)表示解空间的秩
R(xA)<=R(xB) -> R(A)>=R(B)
2.错误 R(A)>=R(B)只能推导出A的解空间的维数小于等于B解空间的维数
但无法说明A的解空间包含在B的解空间内，后面2题以此类推
3.正确
4.错误