Question

设f(x)是定义在(0,正无穷大)上的非常函数

对于任意的x>0,y>0，恒有f(xy)=f(x)f(y),成立，且当x>1时,恒有f(x)<1或f(x)>1
求证：图像恒在第一象限，且过定点（1，1）

请写出详细过程，偶是高一的，请用高一知识解决

Answer 1

对于任意的x>0,y>0，恒有f(xy)=f(x)f(y)成立

取x=y=1,
则f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1)
∴f(1)=[f(1)]²
∴f(1)[f(1)-1]=0
∴f(1)=0或f（1)-1=0
若f(1)=0
那么x>1时，f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)=0
与x>1时，恒有f(x)<1或f(x)>1矛盾
∴f(1)≠0
∴只有f(1)-1=0， f(1)=1
即图像恒过定点（1，1）

设t>0时，取x=√t,y=√t
∴f(t)=f(√t*√t)=[f(√t)]²≥0
若f(t)=0,f（1)=f(t*1/t)=f(t)*f(1/t)=0矛盾
∴t>0时，f(t)>0
∴f(x)图像恒在第一象限

∴图像恒在第一象限，且过定点（1，1）

追问

证明图像恒在第一象限的过程不明白，可以说清楚一点吗？

追答

t>0时，y=f(t)>0
即是横坐标x为正值时，纵坐标y=f(x)为正值
图像是由满足y=f(x)的点 (x,y)构成的
点(x,y)都在第一象限，图像就在第一象限

设t>0时，
f(t)=f(√t*√t)=f(t)*f(t)= [f(√t)]²≥0 【这步明白吗？】
即f(t)≥0

若f(t)=0,f（1)=f(t*1/t)=f(t)*f(1/t)=0矛盾
∴f(t)≠0

那么t>0时，f(t)>0

∴f(x)图像恒在第一象限

追问

那个x=√t,y=√t是什么？

追答

对于任意的正数t,
t可以写成t=√t×√t
这样f(t)=f(√t×√t)=f(√t)*f(√t)=[f(√t)]²≥0
可以得到f(t)≥0
下面再证明f(t)≠0,则就有f(t)>0了

追问

那个是不是根号？看不清楚

追答

是的，在百度打根号都打 √
比如√4=2

Answer 2

证明：∵对于任意的x>0,y>0，恒有f(xy)=f(x)f(y),成立

∴ 当x=1时，f(y)=f(1)f(y)
∴f(1)=1
即：图像过定点（1，1）
设f(x)是定义在(0,正无穷大)上的非常函数。我不知道什么是非常函数，只能帮你到这了。。。。。

惭愧的某雪偷偷溜走。。。。。

Answer 3

追问

在下数学很差，可以说明一下吗？还是不太明白

追答

已经有人写了别的，你可以先看看，要是愿意听我说的话，就告诉我哪一个做法不懂，好解释。

追问

一位网友没写完，另一位网友证明图像在第一象限的过程，我完全不明白，而且我想知道常正数是什么？

追答

那个是我写的不好，是常函数，就是假设了存在一个x0使得f(x0)=0，成立的话，就推出了那个函数是一个恒等于0 的常函数，和已知不符，所以得到那个f(x)大于0的结论，也就是一定在第一象限

追问

那个我想说，我只是高一学生，那个常函数是什么。。。。。。

追答

你不是在题目里写了非常函数了吗？？常函数就是例如f(x)=1,就是那个是一个常数。你题目的那个非常函数就是不是常数。