Question

a 1=9/2,2a（n+1）-an=6•2^n,bn=an-2^(n+1）（1）证{bn}是等比数列

Answer 1

由于2a（n＋1）－an＝6×2^n， 所以2a（n＋1）＝an+6×2^n
而bn＝an－2^（n＋1），
所以b(n+1)/bn=(a(n+1)-2^(n+2))/(an-2^(n+1))
=[1/2*an+3*2^n-2^(n+2)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+6*2^n-2^(n+2))]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an+(6-4)*2^n)]/(an-2^(n+1))
=[1/2*(an-2^(n+1))]/(an-2^(n+1))=1/2
所以数列{bn}为等比数列,首项b1=a1-2^2=1/2,公比是1/2的等比数列.
因此bn=(1/2)^n
从而an=bn+2^(n+1)=1/2^n+2^(n+1)

Answer 2

证明：由于2a（n＋1）－an＝6×2^n得
2a(n+1)-an=(8-2)2^n
2a(n+1)=an+2^(n+3)-2^(n+1)
2a(n+1)-2^(n+3)=an-2^(n+1)
2[a(+1)-2^(n+2)]=an-2^(n+1)
令bn=an-2^(n+1)
所以有2b(n+1)=bn
即b(n+1)=bn/2
所以{bn}是等比数列，公比是1/2，首项是b1=a1-2^2=9/2-4=1/2