Question

如图，给所示五个区域涂色，要求用四种颜色（注意只能是四种不能三种），相邻不同色，共有几种涂色方法

我的一种算法是，首先不考虑具体几种颜色的情况，用1、3同色或1、3异色分两种情况：一共有（4×3×2×1×3）×2共144种涂法，然后再减去用三种颜色涂的（只能是1、3、5同色）共4×3×2×1=24种 最后结果是120种。或者换一种算法，若用四种颜色涂，其中必有两块同色分别是：1和3、1和5、2和5、3和5，所以用4×（4×3×2×1）=96种，为什么两种算法结果不一样？错误出在哪里？最后正确答案是多少？

Answer 1

解：图形中4和所有区域都相邻，因此按排法来说是先排4号，肯定独自占一种颜色，因为题目要求4种颜色都用完，分析方法有两种情况；
①1、2、3、4各自占一种颜色，5和1、2、3中的某一个同色：有A(4，4)*C(1，3)=4X3X2X3=72
②4单独占一种颜色，因为2间隔1、3，可以1、3同色，等于1、3看成一个格子，四个位置全排A(4，4)=4x3x2x1=24
①②相加=72+24=96种
说明：你的第一种做法既然是分类，要按照分类计数原理加法，你没有，都是乘法

追问

括号外面那个乘2就是加法，两种分类一个是4×3×2×1×3另一个是4×3×1×2×3，我就合并起来了。有错吗？

追答

恩，错的，如果你以1、3来分，需要注意一个重点，就是4和所有区域都相邻：
①1、3同色：4个区域全排：A(4，4)=4X3X2X1=24
②1、3不同色：1、3如果不同色，则1、3占两种颜色，2和两个区域都相邻，也要占一种颜色，4和所有区域都相邻，也要占一种颜色，则4种颜色就满了,5只有不和4一样就可以任意选择了。
你的4×3×1×2是什么意思？你自己看下，你的X1是占一种颜色吗？可是你不选择吗？

追问

你看，如果·1、3同色，按4-1-2-3-5的顺序涂色应用乘法原理是4×3×2×1×3对吧？若1、3异色按4-1-3-2-5的顺序的话是4×3×2×1×3对吧？然后两个相加不就是144吗？

追答

你如果按排除法也可以这样考虑，但是你排除的时候少了：
三种颜色涂的（只能是1、3、5同色）？这是你认为的，但是还可以1、3同色，2、5同色，4占一种的情况你没排除，呵呵

Answer 2

13,15,25,35-----4种同色的情况！
四种颜色上4个区域：P(4，4)
总共：4×P(4，4)=96种