Question

证明方程x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+....+x=1 在(0,1)内有唯一实根为Xn, 并求lim(n→＋∞)Xn。

要详细的解答过程，谢谢。

Answer 1

设f(x)=x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+....+x-1,f(0)=-1<0,f(1)>0,则(0,1)内存在实根，下面证明唯一性，对于x^n在（0,1）上是增函数，n个增函数相加还是增函数，故f(x)在（0,1）是增函数，故上述零点有且只有1个。下面证明xn极限存在性。

同时此数列有界（0,1），所以xn极限存在，设其为k，

其中证明数列xn增减性略显繁琐，算是给楼主抛砖引玉吧

追问

谢谢，请问，那个一坨是什么？？？

追答

因为太长，不想写了就用一坨代替……，证明有根要判定f（x）的增减性，一般来说都是要用导数的，但是这道题可以直接看出增减性，所以就免去用导数了

追问

谢了~

追答

不客气