Question

求旋转体的侧面积时，为什么微元要用ds而不是dx?而且2PI*f(x)*ds既不是圆台的侧面积也不是圆柱的侧面积

这个应该怎么理解呢？有人说这个跟O(ds)有关,不懂了。

Answer 1

那个要看你围绕哪个轴转吧 。。 看解析式是围绕X轴转么，， 那ds和dx应该是一样的吧（不然不懂s指什么。

追问

旋转轴是X轴，ds是指弧微分里面的微元。ds=(1+f(x)'^2)^1/2dx

追答

噢噢 既然学了弧微分 那就是用弧微分咯 用ds比用dx更精确吧 你说用dx是因为你将X轴那一段分成N份 每份的弧长近似成dx 然后再计算 但是如果有ds就直接用ds 更加精确 因为毕竟dx也只是约等于弧长了 你想想如果当那一段微弧的斜率非常大， 比如“∠” 底边是dx 斜边是ds 这样就差蛮多了。用微积分求旋转体的侧面积 就是竖着把旋转过后的立方体切成很多薄片，再把每个薄片拉开 近似成长方形，（就像小苹果皮一样），长是圆的周长， 就是原式中的2PI*f(x) 重点是宽， 这里的宽就是那很小很小一段弧的弧长，也就是弧长ds啦。
不知道这样解释你懂否- -

追问

呃，原理我知道的。我就是不懂在什么情况下应该选取什么微元（矩形微元，梯形微元还是其他微元），是不是跟高阶无穷小有关啊？

追答

我觉得是什么更接近真实值就用什么额，， 然后如果是一个显然算不出来的 或是没有学过的 就换一个orzzz
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Answer 2

简单的说,你要求的是面积吧?那么选取的微元也得是二维的呀!dx是1维的