Question

已知函数F(x)=x²+(a+1)x+a+b+1,若F(0)>0且F(1)<0,

则（a²+b²）/ab的最值的情况是有最大值-2，无最小值。为什么，怎么思考？

Answer 1

函数F(x)=x²+(a+1)x+a+b+1,

若F(0)>0且F(1)<0,

则F(0)=a+b+1>0  ,

F(1)=2a+b+3<0

{a+b+1>0 ;2a+b+3<0

表示坐标系a-O-b内

直线a+b+1=0和2a+b+3=0的上方的公共部分，

直线交点为(-2,1)，区域落在第二象限a<0,b>0

根据基本不等式 

  a²+b²≥2|ab|  （ 当a=-b时取等号）

∴（a²+b²)/|ab|≥2

但ab<0

∴(a²+b²)/(-ab)≥2

∴（a²+b²）/ab≤-2

即(a,b)满足可行域的前提下，

当a=-b时，（a²+b²）/ab有最大值-2

无最小值

Answer 2

先将x=0和x=1代入函数F(x)得到两个不等式，F(0)=a+b+1>0，F(1)=2a+b+3<0；
由后一个不等式：2a+b+3=(a+b+1)+a+2=F(0)+(a+2)>a+2，∴ a+2<0；
在将a<-2代入第一个不等式：a+b+1=(a+2)+(b-1)<b-1，∴ b-1>0；
(a²+b²)/ab=-2+(a+b)²/(ab)，其中 (a+b)²/(ab)可为0（当b=-a>2时）或负值（b≠-a），
所以 (a²+b²)/ab 的最大值是2（因第二项的负值可为-∞，所以无最小值）；