Question

齐次微分方程特解怎么求？

我只知道非齐次的特解，和齐次的通解，
但是齐次微分方程特解怎么求啊？比如：y'''+y''-y'-y=0，求出他的三个特解。
请问为什么是y1=e^(-x)，y2=2xe(-x)，y3=3e^x
还有：已知y1=e^(-x)，y2=2xe(-x)，y3=3e^x是所求方程的三个特解，那么r=-1，-1，1为所求三阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的三个根。
请问为什么？

Answer 1

特征方程是r³+r²-r-1=0 求得r=-1,-1,1
通解公式是 [C1+C2x]exp(-x)+C3exp(x)
齐次微分方程就是y改为1，y‘改为r，y’改为r² ，y的n阶导数改为r的n次方，即可得特征方程
实际上就是看有没有特解y=exp(rx)
r出现m重根时λ是 特解为 [c1+c2x+...+cm x^(m-1)]exp(λx)
为什么会这样了，按上例说明
可做个变换y=exp(-x)z ，则有z'''-2z''=0 可知z''=0 是符合特解 （还有一个特解z=exp(2x) )
z''=0 可得z=C1+C2x y=(C1+C2x)exp(-x) (还有一个特解z=exp(2x) 可导出特解y=exp(x) )

Answer 2

微分方程的“阶数”跟韦达定理中方程所含未知数的“次数”一样，所求根的个数不超过阶数或次数!没有为什么，你自己多看看课本中的例题，把这个公式记住就行!

Answer 3

没有为什么 有重根的解法