Question

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆离心率e的范围

Answer 1

解： ∠F1PF2在P处于(0,b)时最大，
假设P处于(0,b)时有PF1⊥PF2，此时2c=√2a
此时椭圆离心率e=√2/2
椭圆越椭，∠F1PF2越大，椭圆上肯定存在一点P，使得PF1⊥PF2
离心率e的取值趋向于1
所以e的取值范围为[√2/2,1)

Answer 2

当P为短轴端点时，∠F1PF2最大，使这个角大于或等于90°即可.
因此，∠F1PO≥45°，
所以e=c/a=sin∠F1PO≥sin45°.
√2/2≤e<1.