Question

如图所示,BE与CD相交于A点,CF为∠BCD的角平分线,EF为∠BED的角平分线。①试探求∠F与∠B、∠D之间有何关系

②若∠B：D:∠F=2：4：x，求x的值
3.EF与FC能垂直吗？说明理由
主要是第三问

Answer 1

1. 连接CE。∠B=180°-∠BEC-∠BCE，∠D=180°-∠DEC-∠DCE。

   ∠F=180°-∠FEC-∠FCE=180°-(∠BEC+1/2∠BED)-(∠BCE-1/2∠BCD)

   =180°-∠BEC-∠BCE+1/2∠BCD-1/2∠BED

   =∠B+1/2∠BCD-1/2∠BED

   另有∠F=180°-∠FEC-∠FCE=180°-(∠DEC-1/2∠BED)-(∠DCE+1/2∠BCD)

   =180°-∠DEC-∠DCE-1/2∠BCD+1/2∠BED

   =∠D-1/2∠BCD+1/2∠BED

   所以2∠F=(∠B+1/2∠BCD-1/2∠BED)+(∠D-1/2∠BCD+1/2∠BED)=∠B+∠D

   ∠F=(∠B+∠D)/2

2. 由1可知∠F=(∠B+∠D)/2，所以x=(2+4)/2=3

3. ∠B∈(0°，180°)，∠D∈(0°，180°)，所以有∠B+∠D∈(0°，360°)，∠F∈(0°，180°)，显然∠F可以取90°，所以成立。

   另外可以直接假设∠B=∠D=90°，那么就有∠F=90°，则EF⊥FC，显然可以成立。
   

Answer 2

三个角相等