Question

关于椭圆上对称点的问题,用点差法为何求不出答案~?

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在X轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以Y=X为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=4倍根号10/3，试求椭圆方程

我的解法是：
由|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2 易得 b^2=4
所以设椭圆方程为 x方/a方+y方/4=1
设M1（x1，y1）M2（x2，y2）
代入椭圆方程 然后 相减 即可得（x1方-x2方）/a方+（y1方-y2方）/4 =0
移项可得 （x1+x2）/（y1+y2）= - a^2 /4 * （y1-y2）/（x1-x2）
又 M1，M2 中点在y=x上 所以有 （x1+x2）/（y1+y2）=1
又 M1，M2关于 y=x对称，所以 M1和M2连线斜率为 -1 所以可以解得a方=4

请问错在哪里？？我觉得这样算每一步都很合理啊~

Answer 1

设M1（x1，y1）M2（x2，y2）
代入椭圆方程 然后 相减 即可得（x1方-x2方）/a方+（y1方-y2方）/4 =0
移项可得 （x1+x2）/（y1+y2）= - a^2 /4 * （y1-y2）/（x1-x2）

这一步出错了！椭圆上存在着以Y=X为轴的对称点M1和M2，事实上M1和M2的连线必过原点，也就是说x1+x2=0，y1+y2=0，而（y1+y2）却出现在你的分母中。这次错误告诉我们，在除以一个式子的时候，一定要先确定它不等于零或考虑它为零的特殊情况。

这题其实不难，设M1（m，n），M2（n，m） ，代入椭圆方程相减整理易得m²=n²,|M1M2|≠0于是m≠n，故m= -n，于是M1（m，-m），M2（-m，m），由两点距离公式可求出m²=20/9，再代入椭圆方程就求出了a²=5。相信你的能力，所以就没写详细步骤了，呵呵。