Question

第18题怎么做 高数 求人

Answer 1

两边同时对x求偏导数，得到
y·f(xy)=y·f(x)+∫[1~y]f(t)dt

∴f(xy)-f(x)=1/y·∫[1~y]f(t)dt

∴f(xy)-f(x)=φ(y)对任意x＞0都成立。
【其中，φ(y)=1/y·∫[1~y]f(t)dt】

同理，f(xy)-f(y)=φ(x)对任意y＞0都成立。

∴f(xy)=f(x)+φ(y)=f(y)+φ(x)

∴φ(y)-f(y)=φ(x)-f(x)

∵x，y是任意正数，

∴φ(y)-f(y)=φ(x)-f(x)=C

∴f(xy)=f(x)+f(y)+C

代入x=y=1，得到，C=-f(1)

∴f(xy)=f(x)+f(y)-f(1)

即：1/x·∫[1~x]f(t)dt=f(x)-f(1)

亦即：∫[1~x]f(t)dt=x·f(x)-x·f(1)

两边同时求导得到：
f(x)=f(x)+x·f'(x)-f(1)

∴f'(x)=f(1)/x

∴f(x)=f(1)·lnx+C1

代入x=1，得到，C1=f(1)

∴f(x)=f(1)·(lnx+1)