Question

a∈R， 函数f(x)=x^2+ax-2-lnx，若函数f(x)在【1，+∞】上为增函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

由题意得f′（x）=2x+a-1/x，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即2x+a-1/x≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
a≥1/x-2x
而1/x-2x在区间[1，+∞）上是减函数
所以1/x-2x在区间[1，+∞）上的最大值为-1
所以a≥-1

Answer 2

f'(x)=2x+a-1/x=(2x²+ax-1)/x，其中x>0
若在[1,+∞）上是增函数，则f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立。
即：2x²+ax-1≥0恒成立
∴a²≥(1-2x²)/x在[1,+∞)的最大值
∵g(x)=(1-2x²)/x=-2x+1/x是减函数，∴g(1)为最大值，此时g(1)=(1-2)/1=-1
∴a≥-1

Answer 3

追问

太感谢了！做题一下子蒙了，没想到这么简单啊！再次感谢！