Question

在平面直角坐标系中,点P到两点(0,-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4

在平面直角坐标系中,点P到两点(0,-根号3)(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C ,直线y＝kx＋1与C交于A,B两点,若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有向量OA的绝对值＞向量OB的绝对值

Answer 1

P的轨迹是一个焦点在Y轴上的椭圆，且长轴2a=4,a=2,c=根号3，则有b^2=a^2-c^2=4-3=1

故椭圆方程是y^2/4+x^2=1.
设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足：
x²＋y²/4＝1
y＝kx＋1
消去y并整理得(k²＋4)x²＋2kx－3＝0
故x1＋x2＝－2k/(k²＋4)，x1x2＝－3/(k²＋4)

又y1y2＝k²x1x2＋k(x1＋x2)＋1
|向量OA|²－|向量OB|²＝x1²＋y1²－(x2²＋y2²)
＝(x1²－x2²)＋4(1－x1²－1＋x2²)
＝－3(x1－x2)(x1＋x2)
＝6k(x1－x2)/(k²＋4)
因为A在第一象限，故x1＞0
由x1x2＝－3/(k²＋4)知x2＜0，从而x1－x2＞0
又k＞0，故|向量OA|²－|向量OB|²＞0
即在题设条件下，恒有|向量OA|＞|向量OB|

Answer 2

P的轨迹是一个焦点在Y轴上的椭圆，且长轴2a=4,a=2,c=根号3，则有b^2=a^2-c^2=4-3=1

故椭圆方程是y^2/4+x^2=1.
设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足：
x²＋y²/4＝1
y＝kx＋1
消去y并整理得(k²＋4)x²＋2kx－3＝0
故x1＋x2＝－2k/(k²＋4)，x1x2＝－3/(k²＋4)

又y1y2＝k²x1x2＋k(x1＋x2)＋1
|向量OA|²－|向量OB|²＝x1²＋y1²－(x2²＋y2²)
＝(x1²－x2²)＋4(1－x1²－1＋x2²)
＝－3(x1－x2)(x1＋x2)
＝6k(x1－x2)/(k²＋4)
因为A在第一象限，故x1＞0
由x1x2＝－3/(k²＋4)知x2＜0，从而x1－x2＞0
又k＞0，故|向量OA|²－|向量OB|²＞0
即在题设条件下，恒有|向量OA|＞|向量OB|