Question

函数y＝√x＋√（3－x）的值域

用高一的知识。简单的。有过程的。谢谢！

Answer 1

y＝√x＋√（3－x）
法1，两边平方法
由x≥0,3-x≥0
得0≤x≤3
定义域为[0,3]
y²=x+2√x(3-x)+3-x
=3+2√(3x-x²)
=3+2√[9/4-(x-3/2)²]
∵0≤x≤3
∴当x=3/2时，9/4-(x-3/2)²取得最大值9/4
y²取得最值3+2×3/2=6
y取得最大值√6
当x=0或x=3时，9/4-(x-3/2)²取得最小值0
y²取得最小值3，y取最小值√3
∴函数值域为[√3,√6]

追问

这是最简单的吗？

追答

法2，三角换元
∵（√x）²+√(3-x)²=3
可令√x=√3cosθ,√(3-x)=√3sinθ，θ∈[0,π/2]
∴y=√3(sinθ+cosθ)
=√6(√2/2sinθ+√2/2cosθ)
=√6sin(θ+π/4)
∵θ∈[0,π/2]∴θ+π/4∈[π/4,3π/4]
∴θ+π/4=π/2时，ymax=√6
θ+π/4=π/4或3π/4,ymin=√3

Answer 2

定义域x属于[0,3]
y>=0
所以y^2=x+3-x+2根号（3x-x^2)=3+2根号（3x-x^2)=3+2根号（-(x-3/2)^2+9/4由于
x属于[0,3]，最大值y=根号（3+2根号（9/4)）=根号6
最小值y=f(0)=f(3/2)=根号3
所以值域为[根号3，根号6]

Answer 3

y=√x＋√(3-x)
√x>=0
x>=0
√(3－x)>=0
3-x>=0
x<=3
所以0<=x<=3

y^2=x+ 2√[x(3-x)]+3-x
y^2=3+2√[x(3-x)]
x(3-x)=-(x-3/2)^2+9/4
在[0,3]的值域是[0, 2.25]
根据二次函数特性，该二次函数关于x=3/2对称
且在x=3/2取得最大值，x=0或3最小
所以y^2的值域是[3, 6]
y的值域是[√3, √6]

Answer 4

解：由y＝√x＋√(3－x)＞0，得 y²=x+2√[x(3-x)]+3-x=3+2√(3x-x²) 且 x∈[0,3](定义域)
又 3x-x²=9/4-(x-3/2)²∈[0,9/4] ∴ y²∈[3,6] y∈[√3,√6]