函数y=√x+√(3-x)的值域

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暖眸敏1V
2013-02-08 · TA获得超过9.6万个赞
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y=√x+√(3-x)
法1,两边平方法
由x≥0,3-x≥0
得0≤x≤3
定义域为[0,3]
y²=x+2√x(3-x)+3-x
=3+2√(3x-x²)
=3+2√[9/4-(x-3/2)²]
∵0≤x≤3
∴当x=3/2时,9/4-(x-3/2)²取得最大值9/4
y²取得最值3+2×3/2=6
y取得最大值√6
当x=0或x=3时,9/4-(x-3/2)²取得最小值0
y²取得最小值3,y取最小值√3
∴函数值域为[√3,√6]
追问
这是最简单的吗?
追答
法2,三角换元
∵(√x)²+√(3-x)²=3
可令√x=√3cosθ,√(3-x)=√3sinθ,θ∈[0,π/2]
∴y=√3(sinθ+cosθ)
=√6(√2/2sinθ+√2/2cosθ)
=√6sin(θ+π/4)
∵θ∈[0,π/2]∴θ+π/4∈[π/4,3π/4]
∴θ+π/4=π/2时,ymax=√6
θ+π/4=π/4或3π/4,ymin=√3
kqq9969
2013-02-08 · TA获得超过959个赞
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定义域x属于[0,3]
y>=0
所以y^2=x+3-x+2根号(3x-x^2)=3+2根号(3x-x^2)=3+2根号(-(x-3/2)^2+9/4由于
x属于[0,3],最大值y=根号(3+2根号(9/4))=根号6
最小值y=f(0)=f(3/2)=根号3
所以值域为[根号3,根号6]
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zxqsyr
2013-02-08 · TA获得超过14.4万个赞
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y=√x+√(3-x)
√x>=0
x>=0
√(3-x)>=0
3-x>=0
x<=3
所以0<=x<=3

y^2=x+ 2√[x(3-x)]+3-x
y^2=3+2√[x(3-x)]
x(3-x)=-(x-3/2)^2+9/4
在[0,3]的值域是[0, 2.25]
根据二次函数特性,该二次函数关于x=3/2对称
且在x=3/2取得最大值,x=0或3最小
所以y^2的值域是[3, 6]
y的值域是[√3, √6]
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869310392
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解:由y=√x+√(3-x)>0,得 y²=x+2√[x(3-x)]+3-x=3+2√(3x-x²) 且 x∈[0,3](定义域)
又 3x-x²=9/4-(x-3/2)²∈[0,9/4] ∴ y²∈[3,6] y∈[√3,√6]
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