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因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有界
即存在m,M∈[a,b]，使得f(m)<=f(x)<=f(M)
f(m)*(b-a)=∫(a,b)f(m)dx<=∫(a,b)f(x)dx<=∫(a,b)f(M)dx=f(M)*(b-a)
所以根据连续函数介值定理，存在ξ∈[a,b]，使得：∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)*(b-a)
即存在m,M∈[a,b]，使得f(m)<=f(x)<=f(M)
f(m)*(b-a)=∫(a,b)f(m)dx<=∫(a,b)f(x)dx<=∫(a,b)f(M)dx=f(M)*(b-a)
所以根据连续函数介值定理，存在ξ∈[a,b]，使得：∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)*(b-a)
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