Question

已知函数f(x)=3^x,f(a+2)=27,函数g(x)=λ·2^ax -4^x的定义域为[0,2]

已知函数f(x)=3^x,f(a+2)=27,函数g(x)=λ·2^ax -4^x的定义域为[0,2]
1.求a的值
2。若函数g(x)在区间[0,2]上是减函数，求实数λ的取值范围
3.若函数g(x)的最大值是1/3,求λ的值

Answer 1

已知函数f(a+2)=27=3^3，所以a+2=3，也即a=1；
g(x)在区间[0,2]上是减函数，g(x)=-(2^x)^2+λ*2^x，令t=2^x，t定义在[1,4]区间内，这是个开口向下的二次曲线，对称轴右侧为减函数，则要求对称轴横坐标不大于1，求解即可。
同上，若对称轴落在[1,4]之间，则最大值取在定点处，若对称轴在1以下，则最大值取在t=1，若对称轴在4以上，则最大值取在t=4,。分别计算以下就好了。

Answer 2

1.,f(a+2)=3^（a+2)=27,
∴a+2=3,a=1.
2.设t=2^x,x∈[0,2],则t∈[1,4],
g(x)=λ·2^x -4^x=λt-t^=-（t-λ/2)^+λ^/4,
2^x↑，g(x)↓，
∴λt-t^↓，
∴λ/2<=1,λ<=2,为所求。
3.λ/2∈[1,4]时λ^/4=1/3,λ/2=1/√3，矛盾；
λ/2<1时λ-1=1/3，λ=4/3；
λ/2>4时4λ-16=1/3，λ=49/12，矛盾。
综上，λ=4/3.