Question

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，CE⊥AB于点E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD.若AE=

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，CE⊥AB于点E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD.
若AE=9，CE=12，求BF的长.





Answer 1

∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，
∵∠DCB=∠DCE，∴∠DCE=∠D，∴CE∥BD，
∵CE⊥AB，∴BD⊥AB，
∵AB为直径，∴CE^2=AE*BE，(射影定理，或证ΔACE∽ΔCBE)
∴BE=144/9=16，∴BC=√(CE^2+BE^2)=20，∴BD=20，
∵ΔFCE∽ΔFDB，
∴CE/BD=EF/BF，
∴12/20=(16-BF)/BF，
BF=10。

Answer 2

连接AC，
∵C在圆上，∴∠ACB=90°
∠ACF=90°-∠FCB
CD是∠ECB的角平分线，∴∠ECF=∠FCB
又∵BC=BD,∴∠BDF=∠BCF
因为BD⊥AB
∴∠BFD=90°-∠BDF=90°-∠BCF=∠ACF
∵∠AFC和∠BFD为对角所以两角相等
∴∠ACF=∠AFC
∴AF=AC=根号（AE²+CE²）=15
BE²=AE×BE，得BE=16
∴BF=AB-AF=AE+BE-AF=10

Answer 3

BF=10

Answer 4

问题不全