求各路神仙帮忙解答

郭敦顒
2013-02-28 · 知道合伙人教育行家
郭敦顒
知道合伙人教育行家
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郭敦顒回答:

原题:在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,(应有AB= AA1=2的条件,并以此作答)

(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;

∵AB= A1B1=AA1=2

∵AC=BC= A1C1=B1C1=√2,     CD=CD1=1,

∴AD=BD=√3,∴△ABD为等腰△。

A1B=2√2=2.8284,

在平面ABC上作正方形AMNB,对角线为ACF、BCE,

在平面A1B1C1上作正方形A1M1N1B,对角线为A1C1N1、B1C1M1,

则AMNB—A1M1N1B为直棱柱底为矩形,其斜截面为矩形ABN1M1,

则矩形ABF1E1的对角线为ADN1、BDM1,因此平面ADB在矩形ABN1M1上。

平面AMM1A1为正方形,∠MM1A=90°,对角线AM1为平面AMME1A1与平面ABF1E1的交线,AM=A1M1=2,AM1=2√2=2.8284,

在平面AMM1A1上作A1K⊥AM1于K,K是A1M的中点,

则A1K⊥平面ABN1M1,即A1K⊥平面ABD,连KB,则平面A1KB⊥平面ABD,∠KBA1即为A1B与平面ABD所成的角,

∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,∴EG⊥平面ABD,

EG⊥平面ABN1M1,EG∥A1K,

∴∠KBA1与∠EGB为同角。

A1K=(1/2)√AA1=(1/2)√2=0.7071

∴sin∠KBA1=A1K/A1B=0.7071/2.8284=0.25,∴∠KBA1=14.4775°,

∴cos∠KBA1= cos14.4775°=0.9682,

∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为0.9682。

                             B1

                                   

  A1                           

 


                 C1                

                                N1

     M1        E               

                 

                  D               

       K       G            B

                                   

   A                           

 


                 C                 

                               N

      M

(2)求点A1到平面AED的距离。

点A1到平面AED的距离是A1K,上面已经求得,

∴A1K=0.7071。

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