
求各路神仙帮忙解答
郭敦顒回答:
原题:在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,(应有AB= AA1=2的条件,并以此作答)
(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值;
∵AB= A1B1=AA1=2
∵AC=BC= A1C1=B1C1=√2, CD=CD1=1,
∴AD=BD=√3,∴△ABD为等腰△。
A1B=2√2=2.8284,
在平面ABC上作正方形AMNB,对角线为ACF、BCE,
在平面A1B1C1上作正方形A1M1N1B,对角线为A1C1N1、B1C1M1,
则AMNB—A1M1N1B为直棱柱底为矩形,其斜截面为矩形ABN1M1,
则矩形ABF1E1的对角线为ADN1、BDM1,因此平面ADB在矩形ABN1M1上。
平面AMM1A1为正方形,∠MM1A=90°,对角线AM1为平面AMME1A1与平面ABF1E1的交线,AM=A1M1=2,AM1=2√2=2.8284,
在平面AMM1A1上作A1K⊥AM1于K,K是A1M的中点,
则A1K⊥平面ABN1M1,即A1K⊥平面ABD,连KB,则平面A1KB⊥平面ABD,∠KBA1即为A1B与平面ABD所成的角,
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,∴EG⊥平面ABD,
EG⊥平面ABN1M1,EG∥A1K,
∴∠KBA1与∠EGB为同角。
A1K=(1/2)√AA1=(1/2)√2=0.7071
∴sin∠KBA1=A1K/A1B=0.7071/2.8284=0.25,∴∠KBA1=14.4775°,
∴cos∠KBA1= cos14.4775°=0.9682,
∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为0.9682。
B1
A1
C1
N1
M1 E
D
K G B
A
C
N
M
(2)求点A1到平面AED的距离。
点A1到平面AED的距离是A1K,上面已经求得,
∴A1K=0.7071。