Question

已知α，β为锐角，且（1＋sinα-cosα）

已知α，β为锐角，且（1＋sinα-cosα）/sinα·（1＋sinβ-cosβ）/sinβ＝2，则tanαtanβ＝

我知道可能很简单，求具体化简过程啊！！！！！谢谢了！！！！

Answer 1

∵（1＋sinα-cosα）/sinα
=[(sinα+2sin²(α/2)]/sinα
=[2sin(α/2)cos(α/2)+2sin²(α/2)]/[2sin(α/2)cos(α/2)]
=1+tan(α/2)
同理（1＋sinβ-cosβ）/sinβ＝1+tan(β/2)
∵（1＋sinα-cosα）/sinα·（1＋sinβ-cosβ）/sinβ＝2
∴[1+tan(α/2)][1+tan(β/2)]=2
∴tan(α/2)tan(β/2)=1-tan(α/2)-tan(β/2)
∵tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)], tanβ=2tan(β/2)/[1-tan²(β/2)],
∴tanαtanβ=[2tan(α/2)*2tan(β/2)]/{[1-tan²(α/2)]*[1-tan²(β/2)]}
=[2tan(α/2)*2tan(β/2)]/{[1+tan(α/2)]*[1+tan(β/2)]*[1-tan(α/2)][1-tan(β/2)]}
=[4tan(α/2)tan(β/2)]/{2[1-tan(α/2)][1-tan(β/2)]}
=[2tan(α/2)*tan(β/2)]/[1-tan(α/2)-tan(β/2)+tan(α/2)tan(β/2)]
=[2tan(α/2)*tan(β/2)]/[tan(α/2)tan(β/2)+tan(α/2)tan(β/2)]
=[2tan(α/2)*tan(β/2)]/[2tan(α/2)*tan(β/2)]
=1