Question

一道高中数学题 急求 要详细过程~ 会追加

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立．
（I）求f（1）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤2x成立．

Answer 1

分析：

（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立可得f（1）=1；

（2）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，于是b=2a，再由f（x）min=f（-1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；

（3）可由f（1+t）≤1，求得：-4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．

 

解答：

（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，

∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，

∴f（1）=1；

（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），

∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，

追问

两道题的 条件不一样 ~ 数据 变了~

Answer 2

解：（I）由②，∵x∈(0，5)时，都有2x≤f(x)≤4|x-1|+2恒成立，
∴2≤f(1）≤4|1-1|+2=2，
∴f(1)=2。
（Ⅱ）∵f(-1+x)=f(-1-x)，
∴f(x)=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，于是b=2a，
再由f(x)min=f(-1)=0，可得c=a，
从而可得函数f(x)=ax²+2ax+a，由(I)知f(1)=2，可得a=1/2，
故f(x)=x²/2+x+1/2。
（Ⅲ）f(x+t)≤2x，即(x+t)²/2+(x+t)+1/2≤2x，

所以x²+2(t-1)x+t²+2t+1≤0，
由题意知，此不等式须对x∈[1，m]时恒成立。
令g(x)=x²+2(t-1)x+t²+2t+1，则有
g(1)=1²+2(t-1)+t²+2t+1=t²+4t≤0，且g(m)=m²+2(t-1)m+t²+2t+1≤0，

从而m²+2(t-1)m+t²+2t+1≤0对-4≤t≤0能成立，
令h(t)=m²+2(t-1)m+t²+2t+1，则有
h(-4)=m²+2(-4-1)m+16-8+1=m²-10m+9≤0，或h(0)=m²-2m+1≤0，

因为m＞1，所以解得1<m≤9，
所求最大的实数m=9。

Answer 3

解：Ⅰ)②得，x=1时，2<=f(1)<=2∴f(1)=2

Ⅱ)①得，a>0,， b^2-4ac=0,，恒等式a(x-1)^2+b(x-1)+c=a(-x-1)^2+b(-x-1)+c

即b=2a.

由Ⅰ）得a+b+c=2 ∴a+2a+c=0∴c=2-3a代入b^2-4ac=0得a=1/2

∴b=2a=1，c=2-3a=1/2

∴f(x)=1/2x^2+x+1/2

Ⅲ)∵f(x+t)<=2x∴1/2(x+t)^2+(x+t)+1/2<=2x 即x^2+(2t-2)x+(t^2+2t+1)<=0

∵x∈【1，m]成立

∴1，m是x^2+(2t-2)x+(t^2+2t+1)=0的两根。

∴2t-2+t^2+2t+1=0且m=t^2+2t+1=2-2t-1

∴t=-2+-根号5，m=5-+2根号5

∵最大的实数m(m>1)

∴m=5+2根号5