Question

已知函数f(x)=(1+cosx/2)^2+(1+sinx/2)^2 求f(x)的最小正周期

若x属于【-π，π】求f(x)的最大值和最小值 并求当f(x)取得最值时x的取值

Answer 1

f(x)=(1+cosx/2)^2+(1+sinx/2)^2=3+2(sinx/2+cosx/2)=3+2√2sin(x/2+π/4)

最小正周期=2π/(1/2)=4π

当sin(x/2+π/4)=1时，f(x)最大值为3+2√2

此时x/2+π/4=π/2，x=π/2 属于【-π，π】，符合要求

当sin(x/2+π/4)=-1时，f(x)最小值为3-2√2
此时x/2+π/4=3π/2，x=5π/2不属于【-π，π】，x-4π也不属于【-π，π】，
所以f(x)的最小值为f(-π)和f(π)的小者。

f(-π)=3+2√2sin(-π/2+π/4)=3-2√2sin(π/4)=1
f(π)=3+2√2sin(π/2+π/4)=3+2√2sin(π/4)=5

所以当x=-π时，f(x)最小值为1

Answer 2

由题
f(x)=(1+cosx/2)^2+(1+sinx/2)^2
=1+2cos(x/2)+cos²(x/2)+1+2sin(x/2)+sin²(x/2)
=2+2(cosx/2+sinx/2)+1
=3+2√2sin[(x/2)+π/4]
所以，f(x)的最小正周期＝2π÷(1/2)＝4π
x∈[-π，π]时
-π/2≤x/2≤π/2
-π/4≤(x/2)+π/4≤3π/4
-√2/2≤sin[(x/2)+π/4]≤1
所以，1≤f(x)≤3+2√2
所以，
当x=-π时，f(x)有最小值＝1
当x=π/2时，f(x)有最大值＝3+2√2

Answer 3

y＝cosx＋sinx＋3＝√2sin（x＋π/2) 3
周期T=2π