Question

如图 在直角梯形ABCD中，AD平行BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3√3，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每

如图在直角梯形ABCD中，AD平行BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3√3，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度
向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等
边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.
设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）.
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）.
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由.

Answer 1

分析：（1）根据路程公式直接写出PQ的长度y；

（2）当BP=1时，有两种情况：①点P从点M向点B运动，通过计算可知，MP=MQ=3，即PQ=6，连接EM，根据等边三角形的性质可求EM=3√3   

，此时EM=AB，重叠部分为△PEQ的面积；②点P从点B向点M运动，此时t=5，MP=3，MQ=5，△PEQ的边长为8，过点P作PH⊥AD于点H，在Rt△PHF中，已知PH，∠HPF=30°，可求FH、PF、FE，证明等边△EFG中，点G与点D重合，此时重叠部分面积为梯形FPCG的面积；根据梯形面积公式求解；

（3）由图可知，当t=4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，由（2）可知，当t=5时，线段EQ经过D点，长度也是最大值，故t的范围在4与5之间．

解：（1）y=MP+MQ=2t；

（2）当BP=1时，有两种情形：

①如图1，若点P从点M向点B运动，有MB=1/2 BC=4，MP=MQ=3，

∴PQ=6．连接EM，

∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴EM=3√3．

∵AB=3√3，∴点E在AD上．

∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9√3 ．

②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．

PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7．

设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，

过点P作PH⊥AD于点H，

则HP=3√3，AH=1．

在Rt△HPF中，∠HPF=30°，

∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，

∴点G与点D重合，如图2．

此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为27/2 *√3  ．

（3）能，

此时，4≤t≤5．

过程如下：

如图3，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，

此时被覆盖线段的长度达到最大值，

∵△PEQ为等边三角形，

∴∠EPC=60°，

∴∠APE=30°，

∵AB=3√3，

∴AF=3，BF=6，

∴EF=FG=2，

∴GD=6-2-3=1，

所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，

∴4≤t≤5．

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