Question

高数中泰勒公式求极限中的问题

我们在求极限中，有时候用到Taylor级数展开求极限，为什么是麦克劳林公式的呢，x0=0，是因为limx→0,才使得x0=0的么

Answer 1

不是的，只要函数满足泰勒级数在某点处的展开条件，在哪个点都可以展开，和limx→0无关。用麦克劳林级数求极限是因为麦克劳林级数使用方便，例如x趋于0时，求极限limsinx/x，把sinx在x=π处展开也是没问题的，但是泰勒展开式中各项都包含(x-π)^k，无法确定x的一次项系数，从而很难将x的高阶无穷小项略去，达不到求极限的目的。

追问

http://zhidao.baidu.com/question/418974801.html这个回答你看一下，他指出x→什么，就在哪里展开，是这么一回事么

追答

他的意思是说求x趋于1是sin(x-1)/(x-1)的极限，可以做变量代换u=x-1，从而转化为求u趋于0时的极限sinx/x。因为如果把sin(x-1)在x=1处展开，得sin(x-1)=(x-1)-(x-1)^3/3!+...，这样略去高阶无穷小后limsin(x-1)/(x-1)=1，但如果求limsinx/x，把sinx在x=1处展开理论上也是允许的，但是展开得到分子与分母x不能约分，极限求不出来，没有实际意义。

Answer 2

一般是用带有皮亚诺余项的Taylor公式，一般不用Taylor级数。麦克劳林公式是Taylor公式的一种特殊情形。而在x-->0的情况下,就利用麦克劳林公式. 此时就是在Taylor公式中令x0=0。