Question

求高手解答！！！

函数f(x)满足ln x=[1+f(x)]/[1-f(x)],且x1与x2均大于e，f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)的最小值为？
f(x1+x2)改为f(x1·x2)

Answer 1

解：∵lnx=1+f(x)/1-f(x) ，∴lnx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=lnx-1/lnx+1
∵f（x1）+f（x2）=1

∴lnx 1-1/lnx 1+1 +lnx 2-1/lnx 2+1 =(lnx 1-1)(lnx2+1)+(lnx1+1)(lnx2-1)/(lnx 1+1)(ln x2+1)=2lnx1lnx2-2/(lnx1+1)(ln x2+1)=1
∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3
∵x1，x2均大于e
∴lnx1，lnx2均大于1
∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3≤(lnx1+ lnx2)^2/2=ln^2”(x1•x2)/4
∴ln2（x1•x2）-4ln（x1•x2）-12≥0
∴ln（x1•x2）≤-2（舍去）或ln（x1•x2）≥6
∴ln（x1•x2）≥6
∵f（x1x2）=ln(x1•x2)-1/ln(x1•x2)+1=1-2/ln(x1•x2)+1≥1-2/6+1=5/7

追问

谢谢

Answer 2

1.等价替换：由于x1，x2均大于e，可令t=Inx，则t1=Inx1,t2=Inx2,t1,t2均大于0，以避免繁琐计算
2.解出f(t)：由已知易得f(t)=(1-t)/(1+t)
3.”翻译”f（x1）+f（x2）=1：(1-t1)/(1+t1)+(1-t2)/(1+t2)=1，化简得t1t2=(1-t1-t2)/3
4.利用基本不等式求出（t1+t2)的范围：t1t2<=(t1+t2)^2/4,将（t1+t2)看作一个整体，就能解出其范围，注意t1,t2均大于0
5. 解出f（x1x2）的最小值：将f（x1x2）代入，化简并表示为t的形式，利用第四步所得结果，很容易算出答案的