Question

证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n

Answer 1

n = 3是唯一的正整数n使其为完全平方数.
这种题目的一种证明思路是证明其夹在两个相邻的完全平方数之间.

若n是偶数, 取正整数m = n^2+n/2.
有m^2 = n^4+n^3+n^2/4 < n^4+n^3+n^2+n+1.
而(m+1)^2 = m^2+2m+1 = n^4+n^3+9n^2/4+n+1 > n^4+n^3+n^2+n+1.
即n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间, 不是完全平方数.

若n > 3是奇数, 取正整数m = n^2+(n-1)/2.
m^2 = n^4+n^3-3n^2/4-n/2+1/4 < n^4+n^3+n^2+n+1
(m+1)^2 = n^4+n^3+5n^2/4+n/2+1/4 = (n^4+n^3+n^2+n+1)+(n^2-2n-3)/4.
由n > 3, (n^2-2n-3)/4 = (n-3)(n+1)/4 > 0, 于是(m+1)^2 > n^4+n^3+n^2+n+1.
故n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间, 不是完全平方数.

最后代入n = 1, 3, 得n = 3时n^4+n^3+n^2+n+1 = 121为完全平方数.

追问

真厉害！可是，另外一个同学的做法是哪里错了呢？

追答

第一步假设错了, 未必能表示为(n^2+an+1)^2.
此外比较系数的做法也不能用.
应该是把多项式相等和数值相等弄混了.

举个例子.
关于x的多项式x^2+ax+1若是完全平方式, 则可表示成(x±1)^2 (即有a = ±2).
这里是多项式相等, 即x^2+ax+1 = (x±1)^2是恒等式, 对任意x成立.
但是比如a = 10, x^2+10x+1虽然不是完全平方式, 但是取值还是可以为完全平方数.
例如x = 2时, 取值25就是完全平方数.
x = 2使x^2+10x+1 = (x+3)^2成立, 但这不是恒等式, 不能比较系数.

追问

http://zhidao.baidu.com/question/523802868?quesup2&oldq=1 此题我做出了第一问，但是第二问不知道。。。。您能看看嘛？谢谢!

Answer 2

若n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是一个完全平方数，则可表示成：
（n^2＋an＋1）^2，其中a是待定常数。
∵（n^2＋an＋1）^2＝n^4＋a^2n^2＋1＋2an^3＋2n^2＋2an＝n^4＋n^3＋n^2＋n＋1，
∴比较各项系数，得：2a＝1、（a^2＋2）＝1，这两个式子显然不能同时成立，
∴不存在正整数n，使n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是完全平方数。