Question

如图点A,B,C三点都在⊙O上,AE是⊙O的直径,AD是△ABC的高,⊙O的半径R=4cm,AD=6cm.

如图点A、B、C三点都在⊙O上，AE是⊙O的直径，AD是△ABC的高，⊙O的半径R=4cm，AD=6cm。
（1）求证：△ABE∽△ADC
（2）试说明：AB·AC的值是一个固定值

Answer 1

①∵∠ABE＝90º（直径上的圆周角等于直角）＝∠ADC90（已知），
∠AEB ＝∠ACB(同弧上的圆周角相等）；
∴Rt△ABE∽Rt△ADC。
②∵AB∶AE＝AD∶AC（相似比），
∴ AB·AC＝AE·AD（外项积等于内项积）＝（2×4）×6＝48（定值）。

Answer 2

证明：
1）、
连接BE
因为AE是直径
所以∠ABE＝90度
因为AD是高
所以∠ADC＝90度
所以∠ABE＝∠ADC
又因为∠E＝∠C
所以ΔABE∽ΔADC
2）、
因为R＝4cm
所以AE＝8cm
因为ΔABE∽ΔADC
所以AB/AD＝AE/AC
所以AB*AC＝AD*AE＝6*8＝48（cm^2）
所以AB*AC是一个常数