Question

如图，三角形ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与角ACB外角的角平分线

如图，三角形ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与角ACB外角的角平分线相交于点E
（1)求证：AD=DE
（2）若点D在CB的延长线上，（1）的结论是否依然成立？请画出图形，若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由

Answer 1

1)角ade=角ace=60度,故adce四点共圆，故角aed等于角acd=60度，故三角形ade为等边三角形，故ad=de；

2）证明是类似的，此时角ade与角ace的和是180度，故adec四点共圆，而角ace=180度-60度=120度，故角ade=60度，ade为等边三角形。

 

如果你没有四点共圆的知识，可以设ac交de于m，证明三角形adm与三角形emc相似，进而得到am*mc=dm*em，进而三角形aem与三角形dcm相似，故角acd等于60度，ade等边。第二题类似

追问

我初二，请用初二的知识解

追答

见我回答的第三自然段

追问

相似也没学……

追答

没学相似三角形吗？

Answer 2

(1）证明：
如图，在AB上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠B=60º,ZB＝AC,∠ACB＝60º
又∵BH=BD
∴AH=DC
∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60º
∴∠ACE＝60º
∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120º
∵∠B＝60º,BH=BD
∴⊿BHD是等边三角形
∴∠BHD=60º
∴∠AHD＝60º
∴∠AHD=∠DCE
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC
且∠ADC＝∠HAD＋∠B
∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B
又∵∠ADE＝∠B＝60º
∴∠HAD＝∠EDC
在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠HAD＝∠EDC
﹛∠AHD=∠DCE
﹛AH=DC
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD＝DE

（2） 

不变，如图，在AB的延长线上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠2＝∠1＝60º,AB=BC,∠ABC=60º
又∵BH=BD
∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形
∴∠H＝60º,∠BDH＝60º
又∵CE平分∠ACB的外角，且∠ACB＝60º
∴∠3＝60º
∴∠3＝∠H
∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH﹣∠4＝120º－∠4
且∠DEC＝180º－∠3－∠4＝120º－∠4
∴∠ADH＝∠DEC
∴在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠3＝∠H
﹛∠ADH＝∠DEC
﹛AH=CD
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD=DE

Answer 3

(1）证明：
如图，在AB上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠B=60º,ZB＝AC,∠ACB＝60º
又∵BH=BD
∴AH=DC
∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60º
∴∠ACE＝60º
∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120º
∵∠B＝60º,BH=BD
∴⊿BHD是等边三角形
∴∠BHD=60º
∴∠AHD＝60º
∴∠AHD=∠DCE
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC
且∠ADC＝∠HAD＋∠B
∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B
又∵∠ADE＝∠B＝60º
∴∠HAD＝∠EDC
在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠HAD＝∠EDC
﹛∠AHD=∠DCE
﹛AH=DC
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD＝DE
﹙2﹚

不变，如图，在AB的延长线上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠2＝∠1＝60º,AB=BC,∠ABC=60º
又∵BH=BD
∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形
∴∠H＝60º,∠BDH＝60º
又∵CE平分∠ACB的外角，且∠ACB＝60º
∴∠3＝60º
∴∠3＝∠H
∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH﹣∠4＝120º－∠4
且∠DEC＝180º－∠3－∠4＝120º－∠4
∴∠ADH＝∠DEC
∴在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠3＝∠H
﹛∠ADH＝∠DEC
﹛AH=CD
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD=DE

Answer 4

边DE与角ACB外角的角平分线相交于点E
这个已知条件不对哈

Answer 5

你图把外交画出来，这样好证