已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R
已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程(2)求f(x)的单调区间(3)f(x)在【0...
已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程
(2)求f(x)的单调区间(3)f(x)在【0,+无穷)上存在最大值和最小值,求a的取值范围
第二题能详解一下吗? 展开
(2)求f(x)的单调区间(3)f(x)在【0,+无穷)上存在最大值和最小值,求a的取值范围
第二题能详解一下吗? 展开
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(1)f'(x)=(-2x^2+2)/(x^4+2x^2+1) f'(0)=2 切线方程y=2x
(2)f'(x)=[-2ax^2+(2-2a^2)x+2a]/(x^4+2x^2+1)
解一元二次方程得x=-a或1/a时 -2ax^2+(2-2a^2)x+2a=0 而 x^4+2x^2+1恒为正 故:
a>0 (-无穷,-a)并(1/a,+无穷)为减 (-a,1/a) 为增
a<0 (-无穷,1/a)并(-a,+无穷)为增 (1/a,-a) 为增
(3)a<0
(2)f'(x)=[-2ax^2+(2-2a^2)x+2a]/(x^4+2x^2+1)
解一元二次方程得x=-a或1/a时 -2ax^2+(2-2a^2)x+2a=0 而 x^4+2x^2+1恒为正 故:
a>0 (-无穷,-a)并(1/a,+无穷)为减 (-a,1/a) 为增
a<0 (-无穷,1/a)并(-a,+无穷)为增 (1/a,-a) 为增
(3)a<0
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第三题想不太明白,能解释一下吗,我觉得如果存在最大值就不存在最小值
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f'(x)=[2a*(x^2+1)-(2ax+a^2-1)*2x]/(x^2+1)^2=-2(ax-1)(x+a)/(x^2+1)^2
1)a>0,x>1/a时,f'(x)<0,减函数
-a<x<1/a,f'(x)>0,增函数
x<-a,f'(x)<0,减函数
2)a=0,x>0,f'(x)>0,增函数
x<0,f'(x)<0,减函数
3)a<0,x>-a时,f'(x)>0,增函数
1/a<x<-a,f'(x)<0,减函数
x<1/a,f'(x)>0,增函数
1)a>0,x>1/a时,f'(x)<0,减函数
-a<x<1/a,f'(x)>0,增函数
x<-a,f'(x)<0,减函数
2)a=0,x>0,f'(x)>0,增函数
x<0,f'(x)<0,减函数
3)a<0,x>-a时,f'(x)>0,增函数
1/a<x<-a,f'(x)<0,减函数
x<1/a,f'(x)>0,增函数
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第三题想不太明白,能解释一下吗,我觉得如果存在最大值就不存在最小值
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对f(x)进行求导,然後再对a进行讨论
f'(x) = 6ax²+(2a²-2)x+2a
当a=0时,f'(x) = -2x,那么单调减区间为(0,+无穷),单调增区间为(-无穷,0);
当a>0时,f'(x)开口向上,那么单调增区间为两根之外,单调减区间为两根之间
当a<0时,与上述相反
具体的计算一下,我就不赘述了。
f'(x) = 6ax²+(2a²-2)x+2a
当a=0时,f'(x) = -2x,那么单调减区间为(0,+无穷),单调增区间为(-无穷,0);
当a>0时,f'(x)开口向上,那么单调增区间为两根之外,单调减区间为两根之间
当a<0时,与上述相反
具体的计算一下,我就不赘述了。
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